DEFINISI
Pembagian bilangan bulat merupakan bahan pelajaran
matematika yang sudah diberikan di sekolah dasar. Bahan pelajaran ini diperluas
penggunaannya sampai pada pemfaktoran prima, faktor persekutuan terbesar (FPB),
kelipatan persekutuan terkecil (KPK), dan keterbagian oleh bilangan tertentu
(misalnya keterbagian oleh 2,3, atau 9). Untuk memberikan dasar atau landasan
yang lebih kuat kepada guru matematika di sekolah, maka mereka perlu
belajar lebih mendalam tentang konsep-konsep dasar keterbagian.
Keterbagian (divisibility) merupakan dasar pengembangan
teori bilangan, sehingga konsep-konsep keterbagian akan banyak digunakan
didalam sebagian besar uraian atau penjelasan matematis tentang pembuktian
teorema. Keadaan inilah yang memberikan gagasan tentang perlunya definisi
keterbagian. Keterbagian atau divisibility adalah sudut pandang matematika yang
mempelajari suatu bilangan yang habis oleh bilangan lain.
SIFAT-SIFAT KETERBAGIAN
Teorema
1
Jika
a, b, dan c adalah bilangan bulat dengan a│b dan b│c maka a│c.
Bukti
a│b
dan b│c maka menurut Definisi, terdapat bilangan bulat m dan n sedemikian
sehingga c = bn = (am)n = a(mn). Jadi, c = a(mn). Untuk suatu mn =
p anggota bilangan Bulat maka c = ap Akibatnya menurut Definisi, a│c.
Teorema 2
Jika
a, b, dan c adalah bilangan bulat dengan c│a dan c│b maka c│(am+bm). untuk
suatu m,n anggota bilangan bulat.
Bukti
c│a dan c│b maka terdapat bilangan bulat x dan y sedemikian sehingga a =cx dan
b =cy
Sehingga,
am = c(xm) dan bn =c(yn). untuk suatu xm = p dan (yn)=q, Maka:
am
+ bn = c(p+q). Akibatnya,c│(am+bn).
Teorema 3 (Buchmann, 2002: 3)
a.
Jika a│b dan b ≠ 0 maka |a| ≤ |b|.
b.
Jika a│b dan b│a maka |a| = |b|.
Bukti
a.
Jika a│b dan b ≠ 0 maka menurut Definisi, terdapat m ≠ 0
sedemikian
sehingga b = am.
Karena
b = am maka |b| = |am| ≥ |a| sehingga, |a| ≤ |b|.
b.
Andaikan a│b dan b│a. Jika a = 0 maka b = 0 dan jika a ≠ 0
maka b ≠ 0.
Selanjutnya,
Jika
a ≠ 0 dan b ≠ 0 maka sesuai dengan Teorema 3a, |a| ≤ |b| dan |b| ≤ |a|
sehingga |a| = |b|.
CONTOH KETERBAGIAN
Untuk menguji suatu bilangan bulat dapat dibagi (habis dibagi) atau tidak dapat
dibagi oleh bilangan bulat lain kita dapat menggunakan kalkulator atau dengan
metode pembagian cara panjang. Meskipun demikian, kita akan menggungkap cara
lain untuk menguji keterbagian beberapa bilangan bulat. Sebagai contoh, kita
akan menentukan apakah 1734 habis dibagi oleh 17. Untuk keperluan ini,
perhatikan langkah-langkah berikut ini:
1734
= 1700 + 34
Karena 171700 dan 1734, menurut sifat keterbagian, 17(1700 +
34), atau 171734. Dengan cara yang sama, kita dapat menentukan bahwa 17┼1735.
Untuk
menentukan apakah suatu bilangan bulat n dapat dibagi (habis dibagi) oleh
bilangan bulat lain d, kita pertimbangkan bahwa n sebagai jumlah atau selisih
dua bilangan-bilangan bulat di mana d paling sedikit dapat membagi satu dari
bilangan-bilangan bulat itu. Sebagai contoh, tentukan apakah 358 habis dibagi
oleh 2. Jelas sekali bahwa 358 dapat dibagi oleh 2 karena 358 adalah bilangan
genap. Hal ini karena digit satuannya 2. Selanjutnya perhatikan yang berikut
ini:
358
= 350 + 8 = 35(10) + 8
Kita mengetahui bahwa 210 sehingga 235(10), dan 28 yang
mengakibatkan 2(35(10) + 8). Karena 2 membagi sebarang bilangan berkelipatan
10, untuk menentukan apakah suatu bilangan dapat dibagi oleh 2 cukup dengan
memperhatikan apakah digit satuannya dapat dibagi oleh 2. Jika digit satuannya
tidak dapat dibagi oleh 2 maka bilangan itu tidak dapat dibagi oleh 2.
Kita
dapat mengembangkan uji serupa ini untuk keterbagian oleh 5 dan 10. Secara
umum, kita mempunyai aturan-aturan keterbagian sebagai berikut:
Uji keterbagian oleh 2.
Suatu
bilangan bulat dapat dibagi oleh 2 jika dan hanya jika digit satuannya dapat
dibagi oleh 2.
Uji keterbagian oleh 5.
Suatu
bilangan bulat dapat dibagi oleh 5 jika dan hanya jika digit satuannya dapat
dibagi oleh 5. Hal ini berarti bahwa digit satuannya adalah 0 atau 5.
Uji keterbagian oleh 10.
Suatu
bilangan bulat dapat dibagi oleh 10 jika dan hanya jika digit satuannya dapat
dibagi oleh 10. Hal ini berarti bahwa digit satuannya adalah 0.
Selanjutnya
kita akan memperhatikan aturan keterbagian oleh 4 dan 8. Kita tahu bahwa 4┼10
dan 8┼10 sehingga tidak tepat jika kita digit satuan untuk keterbagian oleh 4
dan 8. Tetapi 4 atau 22 dapat membagi 102, dan 8 atau 23 dapat membagi 103.
Pertama kita akan mengembangkan suatu aturan keterbagian oleh 4. Perhatikan
empat digit bilangan n sebarang, sedemikian sehingga n = a.103 + b.102 + c.10 +
d. Kita tahu bahwa 4102 karena 102 = 4 . 25 dan akibatnya 4103. Karena 4102,
4b.102 dan 4a.103. Akhirnya, 4b.102 dan 4a.103 memberikan implikasi 4(a.103 +
b.102). Sekarang, keterbagian n = a.103 + b.102 + c.10 + d oleh 4 tergantung
pada keterbagian (c.10 + d) oleh 4. (c.10 + d) merupakan bilangan yang
ditampilkan oleh dua digit terakhir pada bilangan bulat n yang diberikan. Kita
rangkum hal ini di dalam uji berikut ini.
Uji keterbagian oleh 4
Suatu
bilangan bulat dapat dibagi oleh 4 jika dan hanya jika dua digit terakhirnya
menyatakan bilangan yang dapat dibagi oleh 4. Untuk menyelidiki suatu bilangan
bulat dapat dibagi oleh 8, kita telah mengetahui bahwa pangkat terkecil dari 10
yang dapat dibagi oleh 8 adalah 10. Karena 10 = 8 . 125. Akibatnya, untuk
setiap bilangan bulat n dan n 3, 10n juga dapat dibagi oleh 8.
Uji keterbagian oleh 8.
Suatu
bilangan bulat dapat dibagi oleh 8 jika dan hanya jika tiga digit terakhirnya
menyatakan bilangan yang dapat dibagi oleh 8. Berikut ini adalah beberapa
contoh penggunaan uji keterbagian oleh 2, uji keterbagian oleh 4, dan uji
keterbagian oleh 8.
Contoh1.
a.
Tentukan apakah 97128 dapat dibagi oleh 2, 4, dan 8.
b.
Tentukan apakah 83026 dapat dibagi oleh 2, 4, dan 8.
Jawab.
a.
2 | 97128 karena 2 | 8
4
| 97128 karena 4 | 28
8
| 97128 karena 8 | 128
b.
2 | 83026 karena 2 | 6
4
| 83026 karena 4 | 26
8┼83026
karena 4┼026.
Selanjutnya,
kita perhatikan keterbagian suatu bilangan bulat oleh 3. Tidak ada pangkat dari
10 yang dapat dibagi oleh 3, tetapi bilangan-bilangan 9, 99, 999, dan yang
sejenisnya adalah dekat dengan bilangan pangkat ari 10 dan dapat dibagi oleh 3.
Kita tulis kembali bilangan-bilangan yang menggunakan 999, 99, dan 9 sebagai
berikut:
5721
= 5 . 103 + 7 . 102 + 2 . 10 + 1 = 5(999 + 1) + 7(99 +1) + 2(9 + 1) + 1
=
5 . 999 + 5 . 1 + 7 . 999 + 7 . 1 + 2 . 9 + 2 . 1 + 1
=
(5 . 999 + 7 . 99 + 2 . 9) + ( 5 + 7 + 2 + 1)
Jumlah
dari bilangan-bilangan yang ada dalam kurung pertama dapat dibagi oleh 3. Jadi
keterbagian 5721 oleh 3 tergantung pada jumlah bilangan-bilangan yang ada di
dalam kurung ke dua. Di dalam kasus ini, 5 + 7 + 2 + 1 = 15 dan 3 15. Jadi 3
5721. Dengan demikian, untuk memeriksa apakah 5721 dapat dibagi oleh 3, kita
cukup memeriksa apakah 5 + 7 + 2 + 1 dapat dibagi oleh 3. Contoh ini membawa
kita pada uji keterbagian oleh 3 sebagai berikut.
Uji keterbagian oleh 3
Suatu
bilangan bulat dapat dibagi oleh 3 jika dan hanya jika jumlah digit-digitnya
merupakan bilangan yang dapat dibagi oleh 3.
Kita
dapat menggunakan argumen yang serupa untuk digunakan membuktikan keterbagian
suatu bilangan bulat oleh 3, khususnya bilangan bulat bilangan bulat yang
mempunyai 4 digit, n = a . 103 + b . 102 + c . 10 + d.
Karena
a . 999 + b . 99 + c . 9 + d dekat ke n dan dapat dibagi oleh 3, kita peroleh
sebagai berikut:
a
. 103 + b . 102 + c . 10 + d = a . 1000 + b . 100 + c . 10 + d
=
a(999 + 1) + b(99 + 1) + c(9 + 1) + d
=
(a . 999 + b . 99 + c . 9) + (a . 1 + b . 1 + c . 1)
=
(a . 999 + b . 99 + c . 9) + (a + b + c)
Karena
3 | 999, 3 | 99, dan 3 | 9, 3 | (a . 999 + b . 99 + c . 9).
Jika
3 (a + b + c) maka 3 ((a . 999 + b . 99 + c . 9) + (a + b + c)). Hal ini
berarti 3 n. Di lain pihak, jika 3┼(a + b + c) maka 3┼((a . 999 + b . 99 + c .
9) + (a + b + c)). Hal ini berarti 3┼n.
Karena
9 | 9, 9 | 99, 9 | 999, dan seterusnya dengan uji yang serupa dengan uji
keterbagian suatu bilangan bulat oleh 3, kita dapat menentukan keterbagian
suatu bilangan bulat oleh 9 Uji keterbagian oleh 9 Suatu bilangan bulat dapat
dibagi oleh 9 jika dan hanya jika jumlah dari digit-digitnya merupakan bilangan
yang dapat dibagi oleh 9.
Contoh
2.
a.
Tentukan apakah 1002 dapat dibagi oleh 3 dan dapat dibagi oleh 9.
b.
Tentukan apakah 14238 dapat dibagi oleh 3 dan dapat dibagi oleh 9.
Jawab.
a.
Karena 1 + 0 + 0 + 2 = 3 dan 3 | 3, akibatnya 3 | 1002.
Karena
9┼3, akibatnya 9┼1002.
b.
Karena 1 + 4 + 2 + 3 + 8 = 18 dan 3 | 18, akibatnya 3 | 14238.
Karena
9 | 18, akibatnya 9 | 14238.
Selanjutnya
akan kita perhatikan uji keterbagian suatu bilangan bulat oleh 7, oleh 11, dan
oleh 6, yaitu sebagai berikut:
Uji keterbagian oleh 7
Suatu
bilangan bulat dapat dibagi oleh 7 jika dan hanya jika bilangan yang dinyatakan
tanpa digit satuannya dikurangi dua kali unit satuan asalnya, dapat dibagi oleh
7.
Uji keterbagian oleh 11
Suatu
bilangan bulat dapat dibagi oleh 11 jika dan hanya jika jumlah digit-digit yang
berada pada pangkat genap dari 10 dikurangi jimlah digit-digit yang berada pada
pangkat ganjil dari 10, dapat dibagi oleh 11.
Uji keterbagian oleh 6.
Suatu
bilangan bulat dapat dibagi oleh 6 jika dan hanya jika bilangan itu dapat
dibagi oleh 2 dan 3.
Contoh
3.
a.
Tentukan apakah 8471986 dapat dibagi oleh 11.
b.
Tentukan apakah 462 dapat dibagi oleh: (i) 7, (ii)11, dan (iii) 6.
c.
Tentukan apakah 875 dapat dibagi oleh: (i) 7, (ii)11, dan (iii) 6.
Jawab.
a.
(6 + 9 + 7 + 8) – (8 + 1 + 4) = 17
Karena 11┼17, kita simpulkan 11┼8471986
b.
(i)
46 – 2 . 2 = 42 dan 7 | 42
Jadi, 7 | 462
(ii) (2 + 4) – 6 =
0 dan 11 | 0
Jadi, 11 | 462
(iii) 2 | 462 dan 3 |
462
Jadi 6 | 462
c.
(i)
87 – 2 . 5 = 77 dan 7 | 77
Jadi 7 | 875
(ii) (5 + 8) – 7 =
6 dan 11┼ 6
Jadi, 11┼875
(iii) 2┼875 karena 875
bilangan ganjil
Jadi 6┼875
Tidak ada komentar:
Posting Komentar